Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics

I Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Formulation of the Balance Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Reduction to Field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Change of Coordinates and a Trace Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Companion Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Weak and Shock Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Survey of the Theory of BV Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 BV Solutions of Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.9 Rapid Oscillations and the Stabilizing Effect of Companion Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 II Introduction to Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Balance Laws in Continuum Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 The Balance Laws of Continuum Thermomechanics . . . . . . . . . . 31 2.4 Material Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Thermoviscoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7 Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1 Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Entropy-Entropy Flux Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Examples of Hyperbolic Systems of Balance Laws . . . . . . . . . . . 56 3.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 IV The Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 The Cauchy Problem: Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Breakdown of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 The Cauchy Problem: Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4 Nonuniqueness of Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5 Entropy Admissibility Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6 The Vanishing Viscosity Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7 Initial-Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.8 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 V Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1 Convex Entropy and the Existence of Classical Solutions . . . . . . 112 5.2 Relative Entropy and the Stability of Classical Solutions . . . . . . 122 5.3 Involutions and Contingent Entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4 Contingent Entropies and Polyconvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.5 The Role of Damping and Relaxation . . . . . . .