Grundkurs Funktionalanalysis

Einleitung

Teil I: Banachräume und lineare Operatoren

1 Banachräume

1.1 Normen und Metriken

1.2 Supremums-Normen

1.3 Lp -Normen und Quotientenräume

1.4 Aufgaben

2 Kompakte Mengen

2.1 Der Satz von Arzelà-Ascoli

2.2 Separable Räume und ein Approximationssatz

2.3 Hölder- und Sobolev-Normen

2.4 Aufgaben

3 Lineare Operatoren

3.1 Operatornormen

3.2 Isomorphien und Fortsetzungen

3.3 Lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Räumen

3.4 Lineare Integral- und Differentialoperatoren

3.5 Aufgaben

4 Kleine Störungen

4.1 Banachalgebren und Neumannsche Reihe

4.2 Lineare Integralgleichungen

4.3 Grundlagen der Spektraltheorie

4.4 Der Banachsche Fixpunktsatz

4.5 Nichtlineare Integralgleichungen

4.6 Der Satz von Picard-Lindelöf

4.7 Aufgaben

Teil II: Fourier-Reihen und Hilberträume

5 Fourier-Reihen und Approximationssätze

5.1 Der Satz von Fejér

5.2 Faltung und Dirac-Folgen

5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz

5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume

5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen

5.6 Aufgaben

6 Hilberträume

6.1 Die Parsevalsche Gleichung

6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten

6.3 Aufgaben

7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen

7.1 Lineare Operatoren und Matrizen

7.2 Orthogonale Projektionen

7.3 Adjungierte Operatoren

7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren

7.5 Aufgaben

Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis

8 Konsequenzen der Vollständigkeit

8.1 Der Satz von Baire

8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

8.3 Der Satz von der offenen Abbildung

8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen

9 Stetige lineare Funktionale

9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren

9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume

9.4 Beispiele von Dualräumen

9.5 Stetige Projektionen

9.6 Aufgaben

10 Schwache Konvergenz

10.1 Variationsprobleme

10.2 Trennung konvexer Mengen

10.3 Uniform konvexe Räume

10.4 Schwach konvergente Folgen

10.5 Schwach konvergente Teilfolgen

10.6 Aufgaben

Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren

11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen

11.1 Kompakte lineare Operatoren

11.2 Fredholmoperatoren

11.3 Stabilität des Index

11.4 Spektren kompakter Operatoren

11.5 Aufgaben

12 Spektralzerlegungen

12.1 Modelle kompakter Operatoren

12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren

12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren

12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen

12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren

12.6 Aufgaben

13 Unbeschränkte Operatoren

13.1 Abgeschlossene Operatoren

13.2 Adjungierte Operatoren

13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

13.5 Evolutionsgleichungen

13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik

13.7 Aufgaben

A Anhang

A.1 Lineare Algebra

A.2 Metrische Räume und Kompaktheit

A.3 Maße und Integrale

A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale

A.3.2 Konvergenzsätze

A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen

A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli

A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz

Literaturverzeichnis Index

1 Banachräume

1.1 Normen und Metriken

1.2 Supremums-Normen

1.3 Lp -Normen und Quotientenräume

1.4 Aufgaben

2 Kompakte Mengen

2.1 Der Satz von Arzelà-Ascoli

2.2 Separable Räume und ein Approximationssatz

2.3 Hölder- und Sobolev-Normen

2.4 Aufgaben

3 Lineare Operatoren

3.1 Operatornormen

3.2 Isomorphien und Fortsetzungen

3.3 Lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Räumen

3.4 Lineare Integral- und Differentialoperatoren

3.5 Aufgaben

4 Kleine Störungen

4.1 Banachalgebren und Neumannsche Reihe

4.2 Lineare Integralgleichungen

4.3 Grundlagen der Spektraltheorie

4.4 Der Banachsche Fixpunktsatz

4.5 Nichtlineare Integralgleichungen

4.6 Der Satz von Picard-Lindelöf

4.7 Aufgaben

Teil II: Fourier-Reihen und Hilberträume

5 Fourier-Reihen und Approximationssätze

5.1 Der Satz von Fejér

5.2 Faltung und Dirac-Folgen

5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz

5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume

5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen

5.6 Aufgaben

6 Hilberträume

6.1 Die Parsevalsche Gleichung

6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten

6.3 Aufgaben

7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen

7.1 Lineare Operatoren und Matrizen

7.2 Orthogonale Projektionen

7.3 Adjungierte Operatoren

7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren

7.5 Aufgaben

Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis

8 Konsequenzen der Vollständigkeit

8.1 Der Satz von Baire

8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

8.3 Der Satz von der offenen Abbildung

8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen

8.5 Aufgaben

9 Stetige lineare Funktionale

9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren

9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume

9.4 Beispiele von Dualräumen

9.5 Stetige Projektionen

9.6 Aufgaben

10 Schwache Konvergenz

10.1 Variationsprobleme

10.2 Trennung konvexer Mengen

10.3 Uniform konvexe Räume

10.4 Schwach konvergente Folgen

10.5 Schwach konvergente Teilfolgen

10.6 Aufgaben

Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren

11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen

11.1 Kompakte lineare Operatoren

11.2 Fredholmoperatoren

11.3 Stabilität des Index

11.4 Spektren kompakter Operatoren

11.5 Aufgaben

12 Spektralzerlegungen

12.1 Modelle kompakter Operatoren

12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren

12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren

12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen

12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren

12.6 Aufgaben

13 Unbeschränkte Operatoren

13.1 Abgeschlossene Operatoren

13.2 Adjungierte Operatoren

13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

13.5 Evolutionsgleichungen

13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik

13.7 Aufgaben

A Anhang

A.1 Lineare Algebra

A.2 Metrische Räume und Kompaktheit

A.3 Maße und Integrale

A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale

A.3.2 Konvergenzsätze

A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen

A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli

A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz

Literaturverzeichnis Index

5.1 Der Satz von Fejér

5.2 Faltung und Dirac-Folgen

5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz

5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume

5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen

5.6 Aufgaben

6 Hilberträume

6.1 Die Parsevalsche Gleichung

6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten

6.3 Aufgaben

7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen

7.1 Lineare Operatoren und Matrizen

7.2 Orthogonale Projektionen

7.3 Adjungierte Operatoren

7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren

7.5 Aufgaben

Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis

8 Konsequenzen der Vollständigkeit

8.1 Der Satz von Baire

8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

8.3 Der Satz von der offenen Abbildung

8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen

8.5 Aufgaben

9 Stetige lineare Funktionale

9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren

9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume

9.4 Beispiele von Dualräumen

9.5 Stetige Projektionen

9.6 Aufgaben

10 Schwache Konvergenz

10.2 Trennung konvexer Mengen

10.3 Uniform konvexe Räume

10.4 Schwach konvergente Folgen

10.5 Schwach konvergente Teilfolgen

10.6 Aufgaben

Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren

11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen

11.1 Kompakte lineare Operatoren

11.2 Fredholmoperatoren

11.3 Stabilität des Index

11.4 Spektren kompakter Operatoren

11.5 Aufgaben

12 Spektralzerlegungen

12.1 Modelle kompakter Operatoren

12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren

12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren

12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen

12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren

12.6 Aufgaben

13 Unbeschränkte Operatoren

13.1 Abgeschlossene Operatoren

13.2 Adjungierte Operatoren

13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

13.5 Evolutionsgleichungen

13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik

13.7 Aufgaben

A Anhang

A.1 Lineare Algebra

A.2 Metrische Räume und Kompaktheit

A.3 Maße und Integrale

A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale

A.3.2 Konvergenzsätze

A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen

A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli

A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz

Literaturverzeichnis Index

5.1 Der Satz von Fejér

5.2 Faltung und Dirac-Folgen

5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz

5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume

5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen

5.6 Aufgaben

6 Hilberträume

6.1 Die Parsevalsche Gleichung

6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten

6.3 Aufgaben

7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen

7.1 Lineare Operatoren und Matrizen

7.2 Orthogonale Projektionen

7.3 Adjungierte Operatoren

7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren

7.5 Aufgaben

Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis

8 Konsequenzen der Vollständigkeit

8.1 Der Satz von Baire

8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

8.3 Der Satz von der offenen Abbildung

8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen

8.5 Aufgaben

9 Stetige lineare Funktionale

9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren

9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume

9.4 Beispiele von Dualräumen

9.5 Stetige Projektionen

9.6 Aufgaben

10 Schwache Konvergenz

10.1 Variationsprobleme

10.2 Trennung konvexer Mengen

10.3 Uniform konvexe Räume

10.4 Schwach konvergente Folgen

10.5 Schwach konvergente Teilfolgen

10.6 Aufgaben

Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren

11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen

11.1 Kompakte lineare Operatoren

11.2 Fredholmoperatoren

11.3 Stabilität des Index

11.4 Spektren kompakter Operatoren

11.5 Aufgaben

12 Spektralzerlegungen

12.1 Modelle kompakter Operatoren

12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren

12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren

12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen

12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren

12.6 Aufgaben

13 Unbeschränkte Operatoren

13.1 Abgeschlossene Operatoren

13.2 Adjungierte Operatoren

13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

13.5 Evolutionsgleichungen

13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik

13.7 Aufgaben

A Anhang

A.1 Lineare Algebra

A.2 Metrische Räume und Kompaktheit

A.3 Maße und Integrale

A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale

A.3.2 Konvergenzsätze

A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen

A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli

A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz

Literaturverzeichnis Index

6.1 Die Parsevalsche Gleichung

6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten

6.3 Aufgaben

7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen

7.1 Lineare Operatoren und Matrizen

7.2 Orthogonale Projektionen

7.3 Adjungierte Operatoren

7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren

7.5 Aufgaben

Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis

8 Konsequenzen der Vollständigkeit

8.1 Der Satz von Baire

8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

8.3 Der Satz von der offenen Abbildung

8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen

8.5 Aufgaben

9 Stetige lineare Funktionale

9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren

9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume

9.4 Beispiele von Dualräumen

9.5 Stetige Projektionen

9.6 Aufgaben

10 Schwache Konvergenz

10.1 Variationsprobleme

10.2 Trennung konvexer Mengen

10.3 Uniform konvexe Räume

10.4 Schwach konvergente Folgen

10.5 Schwach konvergente Teilfolgen

10.6 Aufgaben

Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren

11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen

11.1 Kompakte lineare Operatoren

11.2 Fredholmoperatoren

11.3 Stabilität des Index

11.4 Spektren kompakter Operatoren

11.5 Aufgaben

12 Spektralzerlegungen

12.1 Modelle kompakter Operatoren

12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren

12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren

12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen

12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren

12.6 Aufgaben

13 Unbeschränkte Operatoren

13.1 Abgeschlossene Operatoren

13.2 Adjungierte Operatoren

13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

13.5 Evolutionsgleichungen

13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik

13.7 Aufgaben

A Anhang

A.1 Lineare Algebra

A.2 Metrische Räume und Kompaktheit

A.3 Maße und Integrale

A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale

A.3.2 Konvergenzsätze

A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen

A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli

A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz

Literaturverzeichnis Index

8 Konsequenzen der Vollständigkeit

8.1 Der Satz von Baire

8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

8.3 Der Satz von der offenen Abbildung

8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen

8.5 Aufgaben

9 Stetige lineare Funktionale

9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren

9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume

9.4 Beispiele von Dualräumen

9.5 Stetige Projektionen

9.6 Aufgaben

10 Schwache Konvergenz

10.1 Variationsprobleme

10.2 Trennung konvexer Mengen

10.3 Uniform konvexe Räume

10.4 Schwach konvergente Folgen

10.5 Schwach konvergente Teilfolgen

10.6 Aufgaben

Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren

11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen

11.1 Kompakte lineare Operatoren

11.2 Fredholmoperatoren

11.3 Stabilität des Index

11.4 Spektren kompakter Operatoren

11.5 Aufgaben

12 Spektralzerlegungen

12.1 Modelle kompakter Operatoren

12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren

12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren

12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen

12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren

12.6 Aufgaben

13 Unbeschränkte Operatoren

13.1 Abgeschlossene Operatoren

13.2 Adjungierte Operatoren

13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

13.5 Evolutionsgleichungen

13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik

13.7 Aufgaben

A Anhang

A.1 Lineare Algebra

A.2 Metrische Räume und Kompaktheit

A.3 Maße und Integrale

A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale

A.3.2 Konvergenzsätze

A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen

A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli

A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz

Literaturverzeichnis Index

A.1 Lineare Algebra

A.2 Metrische Räume und Kompaktheit

A.3 Maße und Integrale

A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale

A.3.2 Konvergenzsätze

A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen

A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli

A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz

Literaturverzeichnis Index