Spezielle Funktionen

1. Orthogonale Funktionensysteme.- 1.1. Grundbegriffe.- 1.1.1. Einleitung.- 1.1.2. Annäherung nach der Methode der kleinsten Abweichungsquadrate.- 1.1.3. Annäherung durch orthogonale Funktionen.- 1.1.4. Orthogonalisierung von linear. unabhängigen Funktionen.- 1.2. Spezielle Orthogonalsysteme.- 1.2.1. Die Laguerreschen Polynome.- 1.2.2. Die Hermiteschen Polynome.- 1.2.3. Die Tschebyschewschen Polynome.- 2. Gammafunktion.- 2.1. Definition und Darstellungen.- 2.1.1. Definition als Verallgemeinerung der Fakultät.- 2.1.2. Residuen von ?(z), Formel von Euler, Weierstraßsche Produktform, Hankelsche Integraldarstellung.- 2.2. Eigenschaften der Gammafunktion.- 2.3. Betafunktion.- 2.4. Anwendungen der Gamma- und Betafunktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.- 3. Zylinderfunktionen.- 3.1. Allgemeine Bemerkungen und Einführung der Zylinderfunktionen 1. Art.- 3.2. Zylinderfunktionen 1. Art, Besselsche Funktionen.- 3.2.1. Definition und Eigenschaften bei ganzzahligem Index.- 3.2.2. Darstellung der Besselschen Funktionen mit ganzzahligem Index durch trigonometrische Integrale.- 3.2.3. Definition und grundlegende Eigenschaften der Besselfunktionen bei beliebigem komplexen Index.- 3.2.4. Weitere Integraldarstellungen für Besselfunktionen mit beliebigem Index.- 3.2.5. Asymptotisches Verhalten der Besselschen Funktionen.- 3.2.6. Orthogonalität und Bemerkungen über Nullstellen.- 3.3. Die allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung.- 3.3.1. Fundamentalsysteme von Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.- 3.3.1 Einige Eigenschaften der Neumannschen und Hankelschen Funktionen.- 3.3.3. Rein imaginäres Argument. Modifizierte Besselsche Funktionen.- 3.4. Einige Anwendungen.- 3.4.1. Eine Randwertaufgabe der potentialtheorie für einen Zylinder.- 3.4.2. Zum Problem der Stabknickung.- 3.4.3. Elektron im magnetischen Wechselfeld.- 3.4.4. Kreisplatten auf elastischer Bettung bei nichtrotationssymmetrischer Belastung.- 4. Kugelfunktionen.- 4.1. Allgemeine Bemerkungen.- 4.2. Zonale Kugelfunktionen.- 4.2.1. Legendresche Polynome.- 4.2.2. Eigenschaften der Legendreschen Polynome.- 4.2.3. Integraldarstellungen.- 4.3. Zugeordnete Kugelfunktionen.- 4.4. Legendresche Funktionen 2. Art.- 4.5. Kugelflächenfunktionen.- 4.5.1. Herleitung und Darstellung.- 4.5.2. Orthogonalität.- 4.5.3. Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen.- 4.6. Anwendungen der Kugelfunktionen.- 4.6.1. Randwertaufgaben für die Kugel.- 4.6.2. Potential einer inhomogen belegten Kugelfläche.- 4.6.3. Wasserstoffatom.- 5. Hypergeometrische Funktionen.- 5.1. Definition.- 5.2. Einige Eigenschaften.- 5.3. Integraldarstellungen und asymptotische Formeln.- 5.4. Darstellung der Kugelfunktionen als hypergeometrische Reihen.- Anhang: Zusammenstellung wichtiger Formeln.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.