Dynamical Chaos in Planetary Systems

I Origins and manifestations of dynamical chaos 11

1   Chaotic behaviour 13

1.1  Pendulum, resonances and chaos 13

1.2  Models of resonance ...... . 15

1.3       Interaction and overlap of resonances . 15

1.4       Symplectic maps in general 16

1.5       The standard map ....... . 18

1.6       The separatrix map ...... . 19

1.7       The separatrix  algorithmic  map                                                            23

1.8       Geometry of chaotic layers . . . . 26

2   Numerical tools for studies of dynamical chaos 41

2.1       The Lyapunov exponents ....... . 41

2.2       The Poincare sections ......... . 50

2.3       Stability diagrams and dynamical charts 51

2.4       Statistics of Poincare recurrences 51

3   Adiabatic and non-adiabatic chaos: the Lyapunov timescales 53

3.1       Non-adiabatic chaos ... . 54

3.1.1        Chirikov's constant .... . 54

3.2       Adiabatic chaos .......... . 62

3.3       The Lyapunov timescales in resonance doublets and triplets 71

3.4       The Lyapunov exponents in resonance multiplets 74

4      Chaotic diffusion 79

4.1       Diffusion rates 79

4.1.1        Diffusion rates in resonance multiplets ..... . 79

5   Lyapunov  and  diffusion timescales:  relationships                            85

5.1    Finite-time Lyapunov exponents                                                            87

5.2   The generic relationship ....                      87

5.3    Conditions for the  relationship                                                             90

5.4    Numerical examples    .  .  .  .  .  .                                                       91

6   Widths of chaotic layers                                                                    99

6.1    Extents of chaotic domains    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                             99

6.1.1    The separatrix split   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                         102

6.1.2    Early estimates of the  chaotic layer width                              105

6.2    "Generic"  width of the  chaotic layer   .  .  .  .  .  .  .                           107

6.2.1    The  layer width in the  case of non-adiabatic chaos               109

6.2.2    The  layer width in the  case of adiabatic chaos .  .  .               109

6.3    Marginal  resonances   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .         122

6.3.1    Marginal  resonances in the  case of non-adiabatic chaos .      123

6.3.2    Marginal  resonances in the  case of adiabatic chaos               124

6.3.3    Marginal  resonances:  theory versus simulations                    124

6.3.4    Marginal  resonances:  phase space sections  .  .  .  .  .             130

7 Orbital dynamics  with encounters:  the  encounter  and  Kepler maps                              133

7.1   The encounter map .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                           134

7.1.1    Derivation of the  encounter  map   .  .  .  .                               134

7.1.2    Width of the  chaotic layer:  the  µ217      law                              136

7.1.3    The  Wisdom gaps   .  .  .  .  .  .                                                 139

7.2    The  Kepler map    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                                           141

7.2.1    Prehistory of the  Kepler map                                                  143

7.2.2    Derivation of the  Kepler map                                                 146

7.2.3    Width of the  chaotic layer:  the  µ215     law                              153

7.2.4    The  Kepler map as a generalized separatrix map                    154

7.2.5    The  Lyapunov and diffusion timescales of cometary  motion158

8 Hamiltonian intermittency and Levy fl.ights in the three-body problem                            161

8.1    Two kinds of Hamiltonian  intermittency                                            162

8.2    Overview of generalized separatrix maps                                            163

8.3   Levy flights at  the  edge of escape: the distribution  .  .  .  .  .  .  .  .  .                                              165

8.4   Levy flights at  the edge of  escape:the  "TL -   Tr"  relation .  .  .  .  .  .  .                                       175

8.5    Ways of disruption of three-body systems                                           181

II    Resonances and chaos in the  Solar system                 185

9   Order and  chaos  in the  Solar  system:  historical  background    189

10 Chaotic rotation                                                                                193

10.1  Chaotic rotation of satellites .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                           193

10.1.1  Spin-orbit  resonances    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                              196

10.1.2  Lyapunov timescales of chaotic rotation                                  200

10.1.3  Widths of chaotic layers  .  .  .  .  .  .  .  .  .                                202

10.1.4   Chaotic  planar  rotation  and chaotic tumbling                       203

10.1.5  Stability with respect to tilting the axis of rotation  .          211

10.2  Chaotic obliquities of planets   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .           217

11 Chaotic orbital dynamics of minor bodies                                     221

11.1  Chaotic dynamics of satellite systems.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .             221

11.1.1  Generalization of the  separatrix algorithmic  map                  224

11.1.2   The  Miranda-Umbriel system  .  .  .                                        228

11.1.3  The  Mimas-Tethys system    .  .  .  .                                         231

11.1.4  The Prometheus-Pandora system.                                       234

11.2  Chaos in orbital dynamics of asteroids   .  .                                         245

11.2.1  The  D'Alembert  rules   .  .  .  .  .  .  .                                       249

11.2.2   Resonant structure of the  asteroid and  Kuiper  belts             251

11.2.3  Chaos in orbital dynamics of TNOs                                         254

11.2.4  Two-body resonances    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .          256

11.2.5  Three-body resonances.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      259

11.2.6  Statistics  of  asteroids  in  two-body  and  three-body  reso- nances  .  .  .  .  .  .  .262

11.2.7  Lyapunov exponents in three-body resonances.  .  .           266

11.2.8  Statistics of mean motion resonances:  an overview                268

11.2.9  Secular resonances   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                            270

11.2.lODiffusion timescales of asteroidal  motion  .  .  .  .                   271

11.3 Binary and multiple asteroids and TNOs.  .  . . .  . . .                 275

11.3.1  Chaotic zones around rotating contact  binaries                       276

11.3.2  Ida and Dactyl   .  .  .  .                                                             276

11.4  Chaos in cometary dynamics                                                                278

11.4.1  The  Halley comet                                                                     278

12 Chaotic orbital dynamics of  planets

12.1  Relevant  three-body  resonances ...

III     Dynamics  of exoplanets

13 Exoplanets: an overview

13.1  History and  methods of discovery of exoplanets

13.2  Definition of a planet  .  .  .  .  .  .  .  .  . .

13.3  Typology and  properties  of exoplanets

13.3.1 Types of exoplanets ....

13.3.2   Types of planetary systems

13.4  Planetary  configurations  .  .  .  .  . .

13.5  Dominant resonances .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                . 

14 Secular dynamics of hierarchical planetary systems                    309

15 Location and interaction  of resonances                                         313

15.1  The  circumprimary  case (case of the  outer perturber)                      313

15.2  The  circumbinary case (case of the  inner perturber)                         314

15.3  Apsidal precession of circumbinary  orbits                                          315

15.4  The  Mardling theory  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                    316

16  Chaos as a clearing agent                                                                     323

16.1  Stability criteria and chaotic clearing effects                                       323

16.2  The  Hill criterion and the Hill sphere .  .  .  .                                      324

16.3  The  Wisdom criterion and the Wisdom gap                                        325

16.4  The  Mustill-Wyatt  relation   .  .  .  .  .  .  .  .  .                                     327

16.5  The  Kepler map criterion and the circumbinary clearance effect       327

16.6 The Holman-Wiegert criteria for circumbinary and circumstellar chaos.  .  .  .  .  .  .  .  .  329

16.7  Chaotic clearing effects in planetary systems .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .      329

17 Chaotic  zones around gravitating binaries                                   331

17.1  Radial extent of the  circumbinary  chaotic zone   .  .  .  .  .  .  .  .  .     336

17.2  Stability diagrams for circumbinary  exoplanets   .  .  .  .  .  .  .  .  .     339

17.3 The mass parameter threshold and the diversity of observed ex- osystems ........... 339

18 Chaos in multiplanet  systems                                                         345

18.1  Multiplanet  systems of single stars                                                     345

18.2  Chaotic multiplanet  systems.                                                              346

18.3  Anomalous systems .  .  .  .  .  .  .  .  .                                                   351

19 Chaos in planetary systems of binary stars                                   353

19.1  S-systems and P-systems.  .  .                                                         353

19.2  The  a Centauri A-B system .  .  .  .                                              353

19.3  The 16 Cyg system  .  .  .  .  .  .  .  .  .                                                    354

19.4  The  Kepler circumbinary systems  .                                                    355

19.5  The Moriwaki-Nakagawa criterion and formation of circumbinary planets .  .  .  .  .  .  .  .  365

20 The  Lidov-Kozai effect and chaos in exoplanetary systems        367

20.1  LKE in multiplanet  systems  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                              368

20.2  LKE in planetary systems of binary stars   .  .  .                            370

20.3  Chaos in the planetary motion subject to LKE                              372

21 Challenges and prospects                                                                375

Appendix  A                                                                                        

Appendix B

Appendix C

Bibliography