Basic Semiconductor Physics

1 Energy Band Structures of Semiconductors . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Free-Electron Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Bloch Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Nearly Free Electron Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Reduced Zone Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Free{Electron Bands (Empty{Lattice Bands) . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 First Brillouin Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2 Reciprocal Lattice Vectors of fcc Crystal . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3 Free Electron Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Pseudopotential Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1 Local Pseudopotential Theo

ry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.2 Pseudopotential Form Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.3 Nonlocal Pseudopotential Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.4 Energy Band Calculation by Local Pseudopotential

Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.5 Spin{Orbit Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.6 Energy Band Calculations by Nonlocal

Pseudopotential Method with Spin{orbit

Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 k _ p Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.1 k _ p Hamiltonian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.2 Derivation of the

k

_ p Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7.3 15{band k _ p Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.7.4 Antisymmetric Potentials for Zinc Blende Crystals . . . 50

1.7.5 Spin{orbit Interaction Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.7.6 30{band k _ p Method with the Spin{Orbit Interaction 53

1.8 Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Cyclotron Resonance and Energy Band Structures . . . . . . . 61

2.1 Cyclotron Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2 Analysis of Valence Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

IX

X Contents

2.3 Spin{Orbit Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . 74

2.4 Non-parabolicity of the Conduction Band. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.5 Electron Motion in a Magnetic Field and Landau Levels . . . . . 85

2.5.1 Landau Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.5.2 Density of States and Inter Landau Level Transition . . 90

2.5.3 Landau Levels of a Non-parabolic Band . . . . . . . . . . . . . 92

2.5.4 Landau Levels of the Valence Bands . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.5.5 Magneto{optical Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.6 Luttinger Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.7 Luttinger Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3 Wannier Function and Effective Mass Approximation . . . . . 115

3.1 Wannier Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . 115

3.2 Effective-mass Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.3 Shallow Impurity Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4 Impurity Levels in Ge and Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.4.1 Valley{Orbit Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.4.2 Central Cell Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.5 Electron Motion under an External Field . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.5.1 Group Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.5.2 Electron Motion under an External Force . . . . . . . . . . . . 135

3.5.3 Electron Motion and Effective Mass . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4 Optical Properties 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 141

4.1 Reection and Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.2 Direct Transition and Absorption Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.3 Joint Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.4 Indirect Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.5 Exciton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.5.1 Direct Exciton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.5.2 Indirect Exciton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.6 Dielectric Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.6.1 E0, E0 + Delta0 Edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

<4.6.2 E1 and E1 + &

lt;Delta1 Edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.6.3 E2 Edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.6.4 Exciton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.7 Piezobirefringence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.7.1 Phenomenological Theory of Piezobirefringence . . . . . . 177

4.7.2 Deformation Potential Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.7.3 Stress-Induced Change in Energy Band Structure . . . . . 181

5 Optical Properties 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.1 Modulation Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.1.1 Electro-optic Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 189

5.1.2 Franz{Keldysh Effe

ct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Contents XI

5.1.3 Modulation Spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.1.4 Theory of Electroreectance

and Third-Derivative Form of Aspnes . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2 Raman Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.2.1 Selection Rule of Raman Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.2.2 Quantum Mechanical Theory of Raman Scattering . . . 214

5.2.3 Resonant Raman Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.3 Brillouin Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.3.1 Scattering Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.3.2 Brillouin Scattering Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 228

5.3.3 Resonant Brillouin Scattering .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.4 Polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.4.1 Phonon Polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.4.2 Exciton Polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.5 Free{Carrier Absorption and Plasmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6 Electron{Phonon Interaction and Electron Transport . . . . . 247

6.1 Lattice Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.1.1 Acoustic Mode and Optical Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.1.2 Harmonic Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.2 Boltzmann Transport Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.2.1

Collision Term and Relaxation Time . . . . . . . . . . . .

. . . . 262

6.2.2 Mobility and Electrical Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . 265

6.3 Scattering Probability and Transition Matrix Element . . . . . . . 270

6.3.1 Transition Matrix Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6.3.2 Deformation Potential Scattering

(Acoustic Phonon Scattering) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.3.3 Ionized Impurity Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

6.3.4 Piezoelectric Potential Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.3.5 Non{polar Optical Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . 282

6.3.6 Polar Optical Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

6.3.7 Inter{Valley Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.3.8 Deformation Potential in Degenerate Bands. . . . . . . . . . 289

6.3.9 Theoretical Calculation of Deformation Potentials . . .

. 291

6.3.10 Electron{Electron Interaction and Plasmon Scattering 296

6.3.11 Alloy Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

6.4 Scattering Rate and Relaxation Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

6.4.1 Acoustic Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

6.4.2 Non{polar Optical Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . 313

6.4.3 Polar Optical Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

6.4.4 Piezoelectric Potential Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

6.4.5 Inter{Valley Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

6.4.6 Ionized Impurity Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

6.4.7 Neutral Impurity Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6.4.8 Plasmon

Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

23

XII Contents

6.4.9 Alloy Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

6.5 Mobility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

6.5.1 Acoustic Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

6.5.2 Non{Polar Optical Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . 327

6.5.3 Polar Optical Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

6.5.4 Piezoelectric Potential Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

6.5.5 Inter{Valley Phonon Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

6.5.6 Ionized Impurity Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

6.5.7 Neutral Impurity Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

6.5.8 Plasmon Scattering . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

6.5.9 Alloy Scatte

ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

6.5.10 Electron Mobility in GaN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

7 Magnetotransport Phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

7.1 Phenomenological Theory of the Hall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . 343

7.2 Magnetoresistance Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

7.2.1 Theory of Magnetoresistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

7.2.2 General Solutions for a Weak Magnetic Field . . . . . . . . 350

7.2.3 Case of Scalar Effective Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

7.2.4 Magnetoresistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

7.3 Shubnikov{de Haas Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 357

7.3.1 Theory of Shubnikov{de Haas Effect . . . . . . . .

. . . . . . . . 357

7.3.2 Longitudinal Magnetoresistance Con_guration . . . . . . . 361

7.3.3 Transverse Magnetoresistance Con_guration . . . . . . . . . 363

7.4 Magnetophonon Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

7.4.1 Experiments and Theory of Magnetophonon Resonance 367

7.4.2 Various Types of Magnetophonon Resonance . . . . . . . . . 375

7.4.3 Magnetophonon Resonance

under High Electric and High Magnetic Fields . . . . . . . 380

7.4.4 Polaron Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

8 Quantum Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

8.1 Historical Background. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

8.2 Two-Dimensional Electron Gas Systems .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

8.2.1 Two-Dimensional Electron Gas<

mos="" inversion="" layer="" .="" 390

8.2.2 Quantum Wells and HEMT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

8.3 Transport Phenomena in a Two-Dimensional Electron Gas. . . 407

8.3.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

8.3.2 Scattering Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

8.3.3 Mobility of a Two-Dimensional Electron Gas . . . . . . . . . 435

8.4 Superlattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.4.1 Kronig{Penney Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

8.4.2 Effect of Brillouin Zone Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

8.4.3 Tight Binding Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Contents XIII

8.4.4 sp3

s_ Tight Binding Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 450 8.4.5 Energy Ba

nd Calculations for Superlattices . . . . . . . . . . 451

8.4.6 Second Nearest-Neighbor sp3 Tight Binding

Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

8.5 Mesoscopic Phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

8.5.1 Mesoscopic Region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

8.5.2 De_nition of Mesoscopic Region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

8.5.3 Landauer Formula and B�uttiker{Landauer Formula . . . 468

8.5.4 Research in the Mesoscopic Region . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

8.5.5 Aharonov{Bohm Effect (AB Effect) . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

8.5.6 Ballistic Electron Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

8.6 Quantum Hall Effect . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

8.7 Coulomb Blockade and Single El

ectron Transistor . . . . . . . . . . 489

8.8 Quantum Dots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

8.8.1 Addition Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

8.8.2 Exact Diagonalization Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

8.8.3 Hamiltonian for Electrons in a Quantum Dot . . . . . . . . 501

8.8.4 Diagonalization of N Electrons Hamiltonian Matrix . . 504

8.8.5 Electronic States in Quantum Dots . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

8.8.6 Quantum Dot States in Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . 507

8.8.7 Electronic States in Elliptic and Triangular Quantum

Dots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

9 Light Emission and Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

9.1 Einstein Coefficients A and B &

lt;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

9.2 Spontaneous Emission and Stimulated Emission . . . . . . . . . . . 516

9.3 Band Tail Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

9.4 Luminescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

9.4.1 Luminescence due to Band to Band Transition . . . . . . . 527

9.4.2 Luminescence due to Excitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

9.4.3 Luminescence via Impurities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

9.4.4 Luminescence in GaP and GaAsP via N traps . . . . . . . . 535

9.4.5 Luminescence from GaInNAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

9.4.6 Light Emitting Diodes (LEDs) in Visible Region . . . . . 540

9.5 Heterostructure Optical Waveguide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

9.5.1 Wave Equations f

or Planar Waveguide . . . . . . . . . . . . . . 542

9.5.2 Transverse Electric Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

9.5.3 Transverse Magnetic Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

9.5.4 Effective Refractive Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

9.5.5 Con_nement Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

9.5.6 Laser Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

9.6 Stimulated Emission in Quantum Well Structures . . . . . . . . . . 555

9.6.1 Con_nement in Quantum Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

9.6.2 Optical Transition in Quantum Well Structures . . . . . . 561

9.6.3 Reduced Density of States and Gain . . . . . . . . . . . . . . . . 566

XIV Contents

9.6.4 Strain Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

9.7

Wurtzite Semiconductor Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

9.7.1 Energy Band Structure of Wurtzite Crystals . . . . . . . . . 575

9.7.2 Bowing of the Band Gaps and the Effective Masses

in the Ternary Alloys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

9.7.3 Valence Band Structure in the Presence of Strain . . . . . 585

9.7.4 Optical Gain of Nitride Wuantum Well Structures . . . . 593

Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

A Delta Function and Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

A.1 Dirac Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

A.2 Cyclic Boundary Condition and Delta Function . . . . . . 59

7

A.3 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

B Gamma Function . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

C Uniaxial Stress and Strain Components in Cubic Crystals . . . 603

D Boson Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

E Random Phase Approximation

and Lindhard Dielectric Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

F Density Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

G Spontaneous and Stimulated Emission Rates . . . . . . . . . . . . . . . 615

H Spin{Orbit Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
Index . . . . . . . . . .

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