Die Erforschung des Chaos: Eine Einführung für Naturwissenschaftler und Ingenieure

'1 Einführung.- 2 Hintergrund und Motivation.- 2.1 Kausalität - Determinismus.- 2.2 Dynamische Systeme - Beispiele.- 2.3 Phasenraum.- 2.4 Erste Integrale und Mannigfaltigkeiten.- 2.5 Qualitative und quantitative Betrachtungsweise.- 3 Mathematische Einführung in dynamische Systeme.- 3.1 Lineare autonome Systeme.- 3.2 Nichtlineare Systeme und Stabilität.- 3.3 Invariante Mannigfaltigkeiten.- 3.4 Diskretisierung in der Zeit.- 3.5 Poincaré-Abbildung.- 3.6 Fixpunkte und Zyklen diskreter Systeme.- 3.7 Ein Beispiel diskreter Dynamik - die logistische Abbildung.- 4 Dynamische Systeme ohne Dissipation.- 4.1 Hamiltonsche Gleichungen.- 4.2 Kanonische Transformationen, Integrierbarkeit.- 4.3 f-dimensionale Ringe (Tori) und Trajektorien.- 4.4 Die Grundzüge der KAM-Theorie.- 4.5 Instabile Tori, chaotische Bereiche.- 4.6 Ein numerisches Beispiel: die Hénon-Abbildung.- 5 Dynamische Systeme mit Dissipation.- 5.1 Volumenkontraktion - eine wesentliche Eigenschaft dissipativer Systeme.- 5.2 Seltsamer Attraktor: Lorenz-Attraktor.- 5.3 Leistungsspektrum und Autokorrelation.- 5.3.1 Harmonische Analyse und Fourier-Transformation.- 5.3.2 Eigenschaften der Fourier-Transformation; Faltungen und Korrelationen.- 5.3.3 Einfache Fourier-Transformationen, Linienspektren, Diracs ?-Funktion.- 5.3.4 Charakterisierung von Attraktoren mit Hilfe des Leistungsspektrums und der Autokorrelation.- 5.4 Lyapunov-Exponenten.- 5.4.1 Lineare Stabilitätsanalyse nichtlinearer Systeme: Gleichgewichtszustand.- 5.4.2 Stabilität periodischer Lösungen: Floquet-Theorie.- 5.4.3 Lyapunov-Exponent eindimensionaler Abbildungen.- 5.4.4 Lyapunov-Exponenten n-dimensionaler kontinuierlicher Systeme.- 5.4.5 Lyapunov-Exponenten n-dimensionaler diskreter Systeme.- 5.4.6 Numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten.- 5.5 Dimensionen.- 5.5.1 Cantor-Menge.- 5.5.2 Fraktaldimensionen: Kapazitätsdimension und Hausdorff-Besicovitch-Dimension.- 5.5.3 Informationsdimension.- 5.5.4 Korrelationsdimension, punktweise Dimension und Rekonstruktion von Attraktoren.- 5.5.5 Verallgemeinerte Dimension Dq.- 5.5.6 Lyapunov-Dimension und Kaplan-Yorke-Vermutung.- 5.6 Kolmogorov-Sinai-Entropie.- 5.6.1 Der Bernoulli-Shift.- 5.6.2 Definition der KS-Entropie.- 5.6.3 Zusammenhang zwischen KS-Entropie und Lyapunov-Exponenten.- 5.6.4 Zeitspanne für verläßliche Prognosen.- 6 Lokale Bifurkationstheorie.- 6.1 Motivation.- 6.2 Zentrumsmannigfaltigkeit.- 6.3 Normalformen.- 6.4 Normalformen von Verzweigungen einparametriger Flüsse.- 6.5 Stabilität von Verzweigungen infolge Störungen.- 6.6 Verzweigungen von Fixpunkten einparametriger Abbildungen.- 6.7 Renormierung und Selbstähnlichkeit am Beispiel der logistischen Abbildung.- 6.7.1 Der Mechanismus der Periodenverdopplung ad infinitum..- 6.7.2 Superstabile Zyklen.- 6.7.3 Selbstähnlichkeit im x-Raum.- 6.7.4 Selbstähnlichkeit im Parameterraum.- 6.7.5 Zusammenhang mit Phasenübergängen 2. Ordnung und Renormierungsmethoden.- 6.8 Ein beschreibender Exkurs in die Synergetik.- 7 Konvektionsströmungen: Bénard-Problem.- 7.1 Hydrodynamische Grundgleichungen.- 7.2 Boussinesq-Oberbeck-Approximation.- 7.3 Lorenz-Modell.- 7.4 Entwicklung des Lorenz-Systems.- 8 Wege zur Turbulenz.- 8.1 Landau-Szenario.- 8.2 Ruelle-Takens-Szenario.- 8.2.1 Instabilität quasiperiodischer Bewegungen auf dem 3D-Torus.- 8.2.2 Experimente von Swinney und Gollub.- 8.3 Universelle Eigenschaften des Übergangs von Quasiperiodizität zu Chaos.- 8.3.1 Der impulsartig erregte gedämpfte Oszillator.- 8.3.2 Die eindimensionale Kreisabbildung.- 8.3.3 Skalierungseigenschaften der Kreisabbildung.- 8.3.3.1 Lokale Skalierungsgesetze.- 8.3.3.2 Globale Skalierungsgesetze.- 8.4 Die Feigenbaum-Route über Periodenverdopplungen ins Chaos...- 8.4.1 Weitere Skalierungseigenschaften der Periodenverdopplungskaskade.- 8.4.2 Experimenteller Nachweis der Feigenbaum-Route.- 8.5 Quasiperiodischer Übergang bei fester Windungszahl.- 8.5.1 Skalierungsei