Elements of Copula Modeling with R

Preface 5 1 Introduction 9 1.1 A motivating example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Probability and quantile transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Structure and philosophy of the book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Additional references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Copulas 17 2.1 Denition and characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 The Frechet{Hoeding bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Sklar's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 The invariance principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Survival copulas and copula symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6 Measures of association . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.1 Fallacies related to the correlation coecient . . . . . . . . . . . 55 2.6.2 Rank correlation measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6.3 Tail dependence coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.7 Rosenblatt transform and conditional sampling . . . . . . . . . . . . . 76 3 Classes and families 87 3.1 Elliptical distributions and copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1.1 Elliptical distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1.2 Elliptical copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2 Archimedean copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3 Extreme-value copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.4 Selected copula transformations and constructions . . . . . . . . . . . . 122 3.4.1 Rotated copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.4.2 Khoudraji's device . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.4.3 Mixtures of copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4 Estimation 137 4.1 Estimation under a parametric assumption on the copula . . . . . . . . 137 4.1.1 Parametrically estimated margins . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.1.2 Non-parametrically estimated margins . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.1.3 Estimators of elliptical copula parameters . . . . . . . . . . . . . 151 4.1.4 Other semi-parametric estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.1.5 Estimation of copula models with partly xed parameters . . . . 156 4.2 Non-parametric estimation of the copula . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.1 The empirical copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.2 Under extreme-value dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5 Graphical diagnostics, tests and model selection 167 5.1 Basic graphical diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.2 Hypothesis tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.1 Tests of independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.2 Tests of exchangeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.2.3 A test of radial symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2.4 Tests of extreme-value dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.2.5 Goodness-of-t tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2.6 A mixture of graphical and formal goodness-of-t tests . . . . . 188 5.3 Model selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6 Ties, time series and regression 195 6.1 Ties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.2 Selected copula tests and models for time series . . . . . . . . . . . . . 214 6.2.1 Tests of stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.2.2 Tests of serial independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.2.3 Models for multivariate time series based on conditional copulas 229 6.3 Regression . . . . . .